Fractales

Fractales

El fractal, es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el  matemático Benoit Mandelbort en 1975

Por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. Es casi imposible a que distancia nos encontramos del fractal porque siempre lo veremos de la misma manera.

Hay muchos tipos de fractales ya que son muy fáciles de construir. Uno de los ejemplos són el conjunto “Mandelbrot2 o el triángulo “Sierpinksi”. Este último tiene una forma muy sencilla de realizarse, se dibuja un triángulo grande, después, se colocan otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, y se repite el último paso.

Otro fractal es la alfombra de Sierpinski.

Una manera más sencilla de hacer un fractal es, tener una figura y de esa figura ir haciendo varias versiones pero en pequeño

Este conjunto se define a partir de un numero C cualquiera que define la sucesión

Z0= 0 – Termino Inicial

Zn+10 zn (2)+c – Relación de inducción

Para diferentes valores de “c” se obtienen diferentes sucesiones, si la sucesión es acotada “c” pertenece al conjunto de Mandelbort y si no, queda excluido

Para c=1 se obtiene que: 0, 2, 5, 26, 677, etc: (0,10= 0(2) + 1, 2= 1 (2)+ 1, etc.) Para c= 0.5 se obtiene 0,0.5,-0.25,-0.4375,-0.30859375,-0.404769897, de esta manera se comprueba que c=0.5 pertenece al conjunto y c= 1 no.

Otros fractales interesantes son la curva del dragón.

Los fractales pueden ser creados por el hombre, incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales como los copos de nieve.

Según Mandelbort los fractales pueden representar tres clases de similitudes

-          Auto similitud exacta: el fractal resulta idéntico a cualquier escala;

-          Cuasi auto similitud: con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes pero no idénticas

-          Auto similitud estadística: el fractal debe tener dimensiones estadísticas o de númer que se conserve con la variación de la escala.

Dimensión fractal

La geometría clásica no es la suficiente amplia como para que abarque conceptos necesarios para medir diferentes formas fractales. La razón es, que si se intenta realizar una medición de línea fractal utilizando una unidad tradicional, existirán siempre componentes tan pequeños y delgados que no podrán der delimitados con precisión.

En relación con la geometría tradicional, un segmento posee dimensión uno, un circulo, dos, y una esfera, tres. Dado que una línea fractal no abarca toda la porción de plano, debería tener una dimensión que no llegue a dos.

La dimensión fraccionaria fractal mide el grado de escabrosidad y/o discontinuidad de un objeto presentado un grado de irregularidad constante a diferentes escalas. Al fin resulta una irregularidad regular.

El grado de irregularidad de un objeto no es otra cosa que su eficacia para ocupar espacio y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, como la curva de koch que tiene dimensión, 1,2618 ya que es un objeto a caballo entre líneas y la superficie. En cierta medida llega a doblegar la dimensión y obtener más de ella, como lo hace la curva espacio- tiempo en la teoría de la relatividad. Un fractal es la forma idónea de ver lo infinito con el ojo de la mente, ya que esta no puede visualizar el infinito auto inclusión de la complejidad que reine en él.

Hay multitud de ejemplos de fractales: el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski, la curva de Cesáro, la curva del Dragón, la de Hilbert,… y todos ellos se nos antojan criaturas extrañas